一阶纯滞后系统中等百分比调节阀的控制策略浅析

一、等百分比调节阀的特点和放大系数
    调节阀是一种节流元件，其流量特性取决于阀芯的形状，主要有直线、等百分比、抛物线及快开等几种，常用的调节阀主要是直线式调节阀和等百分比调节阀。
    直线式调节阀在流量较小时，调节流量变化相对值大，结果是调节阀在小开度时，调节作用太强，系统不易控制而产生振荡;而在流量较大时，调节流量变化相对值小，导致在开度大时调节效果不明显，反应不及时。
    等百分比调节阀的阀芯在其相对行程变化时，引起的相对流量的变化与该点的相对流量成正比，即同样的相对行程变化值，在调节阀开度小流量小时，调节的流量变化值就小，易于控制;而在开度大流量大时，调节的流量变化值大，调节及时有效。
    设等百分比调节阀在某一开度阀芯位移为l，流量为q;全开位移为L，流量为Q，则其流量特性可表示为：

    利用l=0，q=q_min，l=L，q=Q边界条件，求解式（1）得：
    P=lnR，q/Q=R^1/L-1，R=Q/q_min
    式中：R—调节阀的理想调节范围，对国产调节阀而言，R=30。由此，等百分比调节阀放大系数：

    式（2）表明等百分比调节阀的放大系数不是定常数，它与阀芯的开度l相关。
二、一阶纯滞后系统控制模型
    （1）一阶纯滞后对象的传递函数。
    将一阶惯性环节和纯滞后环节串联，即得到对象的传递函数G₁（S）：

    式中：T_1¾对象的时间常数;K¾对象的比例系数;θ¾对象的滞后时间。
    （2）采样保持器的传递函数。
    对于带有微处理器系统，D/A保持电路为零阶保持器，其传递函数H（S）为：

    式中：T¾采样保持时间（采样周期）。
    （3）系统放大系数。
    被控对象的放大系数通常为定常数。如前所述，等百分比调节阀的放大系数为非定常数，它是一个随阀芯开度l变化的量，因此在控制过程中进行单独处理。假设系统其他环节放大系数不变的部分为K_p，则系统的放大系数表达式为：
    K=K_p·K_v  （3）
    （4）被控对象的传递函数。
    综上所述，被控对象的传递函数G（S）为：

三、数字控制器的设计
    1、大林算法数字控制器
    对于具有较大纯滞后的过程控制，要严格控制好系统输出的超调量，按常规的PID算法来控制效果不佳，采用大林算法则可达到较好的效果。大林算法所设计的数字控制器是使闭环系统的传递函数为一个延时环节和一个惯性环节相串联，且具有与被控对象相等的纯滞后θ，即

    为使闭环系统稳定而不出现振铃现象，式中闭
    环系统的时间常数τ≥T₁;纯滞后θ=NT，T为采样周期，N为整数，且N>0，即滞后时间是采样周期的整数倍，则在Z域内：

    在Z域内大林算法数字控制器D（Z）写为：


    大林算法数字控制器的差分方程为：

    式中：U（M）¾本次数字控制器的输出电压值;U（M-1）¾前次的输出值;U（M-N-1）¾前N+1次输出值;E（K）¾本次测量的数字控制器输入偏差值;E（K-1）¾前次输入偏差值。
    当采样周期T和闭环系统时间常数τ确定后，a₁、a₂为定常数。通过测量系统的飞升曲线可以求得被控对象的放大系数K、时间常数T₁值，记录此时的调节阀芯的开度l，由式（2）、式（3）可计算出K_p。由于K_v随阀芯开度变化，K值的大小与数字控制器本次的输出电压值U（M）有关，在式（5）中，b₁、b₂是与U（M）相关的变量。
    2、数字控制器输出电压的近似解
    假设在系统的输出达到稳态值后，阀芯的开度为l₀，则式（2）写为：

    式中：K_v0¾定常数，是调节阀开度为l₀时调节阀的放大系数。
    K=K_p·K_v=R^（l-l0）/LK₀，K₀=K_pK_v0
    式中：K_0¾定常数，是调节阀开度为l₀时的系统放大系数。

    A、B均为定常数，式（5）写为：
    U（M）=A+R^（l0-l）/LB。
    考虑到阀芯的开度l与数字控制器的输出U（M）成正比，即：


    式中：U_0¾阀芯开度为l₀时控制器的输出电压值，则：
    U（M）=A+R^{（U0-U（M））/Umax}B（6）
    差分方程式（6）一般求其近似解，展开R^{（U0-U（M））/Umax}得

 
    式（8）即为数字控制器输出电压的近似解，计算相对误差小于1.5%，其中。当数字控制器的输入偏差值为零时，B=0，此时U（M）=A，这表明系统达到平衡，系统的输出值是一个定常数。
    通常等百分比调节阀的相对行程在0.75～0.85范围内调节较为合适，取l₀=0.8L。例如，U_max=255（8位D/A输出字），U₀=0.8U_max，R=30，则：

    式（8）、式（9）输出电压值的计算在各种微处理控制系统中很容易实现。
四、控制策略
    1、大林算法数字控制器的调节范围
    设系统的输出值为Y，则Y（M）=K·U（M），Y₀=K₀·U₀。若等百分比调节阀的相对行程在0.75～0.85范围调节，则：
    当U（M）=0.75_Umax，U₀=0.8_Umax时，系统的输出：

    则大林数字控制器对系统输出的可调节范围：
    ΔY=Y₀-Y₁=0.23Y₀   （10）
    式（10）表示若系统输出值在[0.77Y₀，Y₀]范围内，数字控制器实现系统的无超调控制，且运算的相对误差≤1.5%。
    2、超出调节范围的控制
    当系统的输出值在[0，0.77Y₀]范围时，式（8）的计算误差增加，输出Y值越小，误差越大。由式（6）、式（7）可知，在进行线性化处理时，大林数字控制器的输出值比理论值的要求偏小，即在系统启动初期，数字控制器的输出值比要求值小得多，从而使系统调节时间过长。此时可根据被控对象的特性实施定值控制，反复试验后确定数字控制器的输出给定值。
    当因外界干扰而使系统输出Y>Y₀时，表明系统已经超调，此时数字控制器应关闭。
    综上所述，数字控制器的输出U（M）表示为：


五、结论
    1、本数字控制器应用于焙烧燃油炉控制系统，每吨工件油耗从220kg降至175kg，同时保证了产品质量，减轻了操作工的劳动强度。
    2、等百分比调节阀的比例系数的线性化，决定大林算法数字控制器对系统输出的调节范围。当系统输出超出该调节范围时，数字控制器采用Bang2Bang控制方式。
    3、系统的输出调节范围[0.77Y₀，Y₀]是在假设等百分比调节阀的阀芯开度为l0=0.8L的条件下求得的，当假设条件改变时，系统输出的可调节范围值也随之改变。

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